Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\ y\ge\lvert x\rvert\}$.
Hela analys · 2015-08-24
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater beskrivs området av
$$
0\leq r\leq2,\qquad\frac\pi4\leq\theta\leq\frac{3\pi}4.
$$
Alltså
$$
\begin{aligned}
\iint_D e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy
&=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_0^2 re^{-r^2}\,dr\,d\theta\\
&=\frac\pi2\int_0^2re^{-r^2}\,dr\\
&=\frac\pi4\int_0^4e^{-t}\,dt\\
&=\frac\pi4\bigl(1-e^{-4}\bigr).
\end{aligned}
$$