Uppgift 4

Vi har
$$ f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x). $$
Derivatans nollställen i $[0,3\pi]$ är
$$ \frac\pi4,\qquad\frac{5\pi}4,\qquad\frac{9\pi}4. $$
Tecknet för $f'$ visar att $f$ har lokala maxima vid $x=\frac\pi4$ och $x=\frac{9\pi}4$, samt lokala minima vid $x=0$, $x=\frac{5\pi}4$ och $x=3\pi$.

Dessutom är
$$ f''(x)=-2e^{-x}\cos x. $$
Andraderivatans nollställen är $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$ och $\frac{5\pi}2$. Funktionen är därför konkav på
$$ \left[0,\frac\pi2\right]\quad\text{och}\quad \left[\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2\right], $$
och konvex på
$$ \left[\frac\pi2,\frac{3\pi}2\right]\quad\text{och}\quad \left[\frac{5\pi}2,3\pi\right]. $$