Hela analys · 2015-08-24
Undersök funktionen $f(x)=\arctan x+\frac{1}{x-1}$ med avseende på lokala extrempunkter och asymptoter. Rita grafen för $f$. Bestäm värdemängden för $f$ och avgör för vilka $a$ som ekvationen $f(x)=a$ har exakt en lösning. Konvexitet behöver inte undersökas.
Derivatan är
$$
f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{(x-1)^2}
=\frac{-2x}{(1+x^2)(x-1)^2}.
$$
Det enda derivatanollstället är $x=0$. Funktionen är växande på $(-\infty,0)$ och avtagande på $(0,1)$ respektive $(1,\infty)$. Den har alltså ett lokalt maximum i $x=0$, där $f(0)=-1$, men inga lokala minima.
Vid $x=1$ gäller
$$
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=\infty,
$$
så $x=1$ är en lodrät asymptot. Vidare gäller
$$
\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac\pi2,\qquad
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac\pi2.
$$
Alltså är $y=\frac\pi2$ respektive $y=-\frac\pi2$ vågräta asymptoter. Värdemängden är
$$
V_f=(-\infty,-1]\cup\left(\frac\pi2,\infty\right).
$$
Ekvationen $f(x)=a$ har exakt en lösning för
$$
a\leq-\frac\pi2,\qquad a=-1,\qquad\text{eller}\qquad a>\frac\pi2.
$$
För $-\frac\pi2<a<-1$ finns två lösningar, och för $-1<a\leq\frac\pi2$ finns inga.