Uppgift 3

a) Den karakteristiska ekvationen är
$$ r^2+4r+9=0, $$
med rötterna $r=-2\pm\sqrt5\,i$. Därför är den homogena lösningen
$$ y_h=e^{-2x}\bigl(D_1\cos(\sqrt5x)+D_2\sin(\sqrt5x)\bigr). $$
Sätt
$$ y_p=ae^{-x}+bx^2+cx+d. $$
Insättning i differentialekvationen ger
$$ 6a=1,\qquad9b=-9,\qquad8b+9c=0,\qquad2b+4c+9d=0. $$
Alltså är $a=\frac16$, $b=-1$, $c=\frac89$ och $d=-\frac{14}{81}$. Alla lösningar är därför
$$ y=e^{-2x}\bigl(D_1\cos(\sqrt5x)+D_2\sin(\sqrt5x)\bigr) +\frac16e^{-x}-x^2+\frac89x-\frac{14}{81}. $$

b) Efter division med $x$ blir ekvationen
$$ y'-\frac1x y=x^2\sqrt{1+x^2},\qquad x>0. $$
En integrerande faktor är $1/x$, så
$$ \left(\frac yx\right)'=x\sqrt{1+x^2}. $$
Därmed
$$ \frac yx=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C, $$
och alla lösningar är
$$ y=\frac{x}{3}(1+x^2)^{3/2}+Cx. $$