Uppgift 1
Bestäm följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{\arctan^2 x-x^2}{x(e^{2x}-e^{-2x})-4x^2}$.
Hela analys · 2016-01-11
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- a) Vi skriver
$$ \left(\frac{n}{n+2}\right)^n =\frac{1}{(1+2/n)^n}\longrightarrow e^{-2}. $$
b) Maclaurinutvecklingarna ger
$$
(\arctan x)^2-x^2=-\frac23x^4+O(x^6)
$$
och
$$
x(e^{2x}-e^{-2x})-4x^2=\frac83x^4+O(x^5).
$$
Alltså är gränsvärdet
$$
-\frac14.
$$