Uppgift 1
Bestäm följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^n$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{\arctan^2 x-x^2}{x(e^{2x}-e^{-2x})-4x^2}$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2016-01-11
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- a) Vi skriver
$$ \left(\frac{n}{n+2}\right)^n =\frac{1}{(1+2/n)^n}\longrightarrow e^{-2}. $$
b) Maclaurinutvecklingarna ger
$$
(\arctan x)^2-x^2=-\frac23x^4+O(x^6)
$$
och
$$
x(e^{2x}-e^{-2x})-4x^2=\frac83x^4+O(x^5).
$$
Alltså är gränsvärdet
$$
-\frac14.
$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Undersök funktionen $f(x)=\frac{x^2-6x+2}{x-1}$ med avseende på lokala extrempunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$.
Visa lösningDölj lösning
- Derivering ger
$$ f'(x)=\frac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}>0, \qquad f''(x)=-\frac{6}{(x-1)^3}. $$
Funktionen saknar därför lokala extrempunkter, är konvex för $x<1$ och konkav för $x>1$. Vid $x=1$ finns en lodrät asymptot, eftersom
$$ \lim_{x\to1^-}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. $$
Dessutom gäller
$$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=1,\qquad \lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=-5. $$
Den sneda asymptoten är alltså $y=x-5$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+2y'+4y=13\cos x$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $xy'-3y=x^3$, $x>0$, för vilken $y(1)=0$.
Visa lösningDölj lösning
- a) Den homogena lösningen är
$$ y_h=e^{-x}(A\cos(\sqrt3x)+B\sin(\sqrt3x)). $$
Med ansatsen $y_p=a\cos x+b\sin x$ fås
$$ (3a+2b)\cos x+(-2a+3b)\sin x=13\cos x, $$
så $a=3$ och $b=2$. Alltså
$$ y=e^{-x}(A\cos(\sqrt3x)+B\sin(\sqrt3x))+3\cos x+2\sin x. $$
b) Efter division med $x$ får vi
$$
y'-\frac3x y=x^2.
$$
Med integrerande faktor $x^{-3}$ fås
$$
\left(\frac{y}{x^3}\right)'=\frac1x.
$$
Villkoret $y(1)=0$ ger
$$
y=x^3\ln x.
$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Visa att $\lvert x-1\rvert+1>\ln(1+x^2)$ för alla $x$.
Visa lösningDölj lösning
- Sätt
$$ f(x)=\lvert x-1\rvert+1-\ln(1+x^2). $$
För $x<1$ är
$$ f'(x)=-\frac{(x+1)^2}{1+x^2}\leq0, $$
och för $x>1$ är
$$ f'(x)=\frac{(x-1)^2}{1+x^2}\geq0. $$
Alltså antar $f$ sitt minsta värde vid $x=1$, där
$$ f(1)=1-\ln2>0. $$
Därmed gäller $f(x)>0$ för alla $x$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Låt $f(x,y)=2\ln(1+x^2+y^2)-x^2-3y^2$.
(a)
Bestäm alla stationära punkter till $f$.
(b)
Ange ekvationen för tangentplanet till ytan $z=f(x,y)$ i punkten $(0,1,2\ln 2-3)$.
(c)
Bestäm största och minsta värde för $f$ i cirkelskivan $x^2+y^2\le1$.
Visa lösningDölj lösning
- a) De partiella derivatorna är
$$ f_x=\frac{4x}{1+x^2+y^2}-2x,\qquad f_y=\frac{4y}{1+x^2+y^2}-6y. $$
De stationära punkterna är $(0,0)$, $(1,0)$ och $(-1,0)$.
b) I $(0,1)$ är $f_x=0$ och $f_y=-4$, så tangentplanet är
$$
z=2\ln2-3-4(y-1)=-4y+2\ln2+1.
$$
c) På cirkelranden $x=\cos t$, $y=\sin t$ är
$$
f(\cos t,\sin t)=2\ln2-1-2\sin^2t.
$$
Randens största och minsta värden är $2\ln2-1$ och $2\ln2-3$. Tillsammans med det inre värdet $f(0,0)=0$ får vi största värdet $2\ln2-1$ och minsta värdet $2\ln2-3$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D xy^2\,dx\,dy$, där $D$ är triangeln med hörn i punkterna $(-1,-1)$, $(1,1)$ och $(-1,1)$.
Visa lösningDölj lösning
- Triangeln beskrivs av
$$ -1\leq x\leq1,\qquad x\leq y\leq1. $$
Alltså
$$ \begin{aligned} \iint_Dxy^2\,dx\,dy &=\int_{-1}^1\int_x^1xy^2\,dy\,dx\\ &=\frac13\int_{-1}^1(x-x^4)\,dx =-\frac{2}{15}. \end{aligned} $$