Hela analys · 2016-01-11

Uppgift 5

Hela tentan

Uppgift 5

Låt $f(x,y)=2\ln(1+x^2+y^2)-x^2-3y^2$.

(a)

Bestäm alla stationära punkter till $f$.

(b)

Ange ekvationen för tangentplanet till ytan $z=f(x,y)$ i punkten $(0,1,2\ln 2-3)$.

(c)

Bestäm största och minsta värde för $f$ i cirkelskivan $x^2+y^2\le1$.

Visa lösningDölj lösning

a) De partiella derivatorna är
$$ f_x=\frac{4x}{1+x^2+y^2}-2x,\qquad f_y=\frac{4y}{1+x^2+y^2}-6y. $$
De stationära punkterna är $(0,0)$, $(1,0)$ och $(-1,0)$.

b) I $(0,1)$ är $f_x=0$ och $f_y=-4$, så tangentplanet är
$$ z=2\ln2-3-4(y-1)=-4y+2\ln2+1. $$

c) På cirkelranden $x=\cos t$, $y=\sin t$ är
$$ f(\cos t,\sin t)=2\ln2-1-2\sin^2t. $$
Randens största och minsta värden är $2\ln2-1$ och $2\ln2-3$. Tillsammans med det inre värdet $f(0,0)=0$ får vi största värdet $2\ln2-1$ och minsta värdet $2\ln2-3$.