Uppgift 3
(a)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+2y'+4y=13\cos x$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $xy'-3y=x^3$, $x>0$, för vilken $y(1)=0$.
Hela analys · 2016-01-11
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
- a) Den homogena lösningen är
$$ y_h=e^{-x}(A\cos(\sqrt3x)+B\sin(\sqrt3x)). $$
Med ansatsen $y_p=a\cos x+b\sin x$ fås
$$ (3a+2b)\cos x+(-2a+3b)\sin x=13\cos x, $$
så $a=3$ och $b=2$. Alltså
$$ y=e^{-x}(A\cos(\sqrt3x)+B\sin(\sqrt3x))+3\cos x+2\sin x. $$
b) Efter division med $x$ får vi
$$
y'-\frac3x y=x^2.
$$
Med integrerande faktor $x^{-3}$ fås
$$
\left(\frac{y}{x^3}\right)'=\frac1x.
$$
Villkoret $y(1)=0$ ger
$$
y=x^3\ln x.
$$