Uppgift 4
Visa att $\lvert x-1\rvert+1>\ln(1+x^2)$ för alla $x$.
Hela analys · 2016-01-11
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- Sätt
$$ f(x)=\lvert x-1\rvert+1-\ln(1+x^2). $$
För $x<1$ är
$$ f'(x)=-\frac{(x+1)^2}{1+x^2}\leq0, $$
och för $x>1$ är
$$ f'(x)=\frac{(x-1)^2}{1+x^2}\geq0. $$
Alltså antar $f$ sitt minsta värde vid $x=1$, där
$$ f(1)=1-\ln2>0. $$
Därmed gäller $f(x)>0$ för alla $x$.