Uppgift 2
Undersök funktionen $f(x)=\frac{x^2-6x+2}{x-1}$ med avseende på lokala extrempunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$.
Hela analys · 2016-01-11
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- Derivering ger
$$ f'(x)=\frac{x^2-2x+4}{(x-1)^2}>0, \qquad f''(x)=-\frac{6}{(x-1)^3}. $$
Funktionen saknar därför lokala extrempunkter, är konvex för $x<1$ och konkav för $x>1$. Vid $x=1$ finns en lodrät asymptot, eftersom
$$ \lim_{x\to1^-}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. $$
Dessutom gäller
$$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=1,\qquad \lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=-5. $$
Den sneda asymptoten är alltså $y=x-5$.