Uppgift 2
Bestäm följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+1)}{\ln(e^{2x}+x)}$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{x\sin 2x-2x^2\cos x}{(\arctan x)^2-x^2}$.
Hela analys · 2016-02-17
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- a) Vi faktoriserar exponentialtermerna:
$$ \frac{\ln(e^x+1)}{\ln(e^{2x}+x)} =\frac{x+\ln(1+e^{-x})}{2x+\ln(1+xe^{-2x})}. $$
Därför är gränsvärdet
$$ \frac12. $$
b) Maclaurinutvecklingarna ger
$$
x\sin(2x)-2x^2\cos x=-\frac13x^4+O(x^6)
$$
och
$$
(\arctan x)^2-x^2=-\frac23x^4+O(x^6).
$$
Gränsvärdet är alltså
$$
\frac12.
$$