Uppgift 1
Undersök funktionen $f(x)=e^x-3\lvert x-1\rvert$ med avseende på lokala extrempunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2016-02-17
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- För $x<1$ är $f(x)=e^x+3x-3$, och för $x>1$ är $f(x)=e^x-3x+3$. Derivatorna visar att $f$ har en lokal maxpunkt vid $x=1$ och en lokal minpunkt vid $x=\ln3$. Funktionen är konvex på vardera sidan om $x=1$, men inte på hela $\mathbb{R}$.
Det finns inga lodräta asymptoter. Då $x\to-\infty$ gäller
$$
f(x)-(3x-3)=e^x\to0,
$$
så $y=3x-3$ är en sned asymptot. Någon asymptot finns inte då $x\to\infty$, eftersom $f(x)/x\to\infty$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(e^x+1)}{\ln(e^{2x}+x)}$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{x\sin 2x-2x^2\cos x}{(\arctan x)^2-x^2}$.
Visa lösningDölj lösning
- a) Vi faktoriserar exponentialtermerna:
$$ \frac{\ln(e^x+1)}{\ln(e^{2x}+x)} =\frac{x+\ln(1+e^{-x})}{2x+\ln(1+xe^{-2x})}. $$
Därför är gränsvärdet
$$ \frac12. $$
b) Maclaurinutvecklingarna ger
$$
x\sin(2x)-2x^2\cos x=-\frac13x^4+O(x^6)
$$
och
$$
(\arctan x)^2-x^2=-\frac23x^4+O(x^6).
$$
Gränsvärdet är alltså
$$
\frac12.
$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y'-y=e^{2x}$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'=e^{x-2y}$ som satisfierar villkoret $y(0)=0$. För vilka $x$ existerar lösningen?
Visa lösningDölj lösning
- a) Med integrerande faktor $e^{-x}$ fås
$$ (e^{-x}y)'=e^x. $$
Alltså
$$ y=e^{2x}+Ce^x. $$
b) Ekvationen är separabel:
$$
e^{2y}\,dy=e^x\,dx.
$$
Villkoret $y(0)=0$ ger
$$
e^{2y}=2e^x-1,
$$
så
$$
y=\frac12\ln(2e^x-1),\qquad x>-\ln2.
$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Låt $a>0$. Kurvan $y=\sqrt{ax}e^{-ax^2}$, $x\ge0$, roterar kring $x$-axeln. Visa att volymen av den kropp som då bildas är oberoende av $a$. Vad är denna volym lika med?
Visa lösningDölj lösning
- Med substitutionen $t=2ax^2$ fås
$$ V=\pi\int_0^\infty axe^{-2ax^2}\,dx =\frac{\pi}{4}\int_0^\infty e^{-t}\,dt =\frac{\pi}{4}. $$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde för $f(x,y)=(x+y)e^{-xy}$ i triangeln med hörn i $(0,0)$, $(2,0)$ och $(0,2)$.
Visa lösningDölj lösning
- De stationära punkterna uppfyller
$$ 1=y(x+y),\qquad 1=x(x+y). $$
Alltså är $x=y$ och $2x^2=1$. Den inre stationära punkten är
$$ \left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right), $$
där $f=\sqrt2e^{-1/2}$.
På randen är värdena i hörnen $0$, $2$ och $2$. På sidan $y=2-x$ fås
$$
f(x,2-x)=2e^{x^2-2x},
$$
med kritisk punkt $x=1$ och värdet $2e^{-1}$. Jämförelsen visar att funktionens största värde är $2$ och dess minsta värde är $0$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy$, där $D$ ges av olikheterna $1\le x^2+y^2\le4$, $0\le x\le y$.
Visa lösningDölj lösning
- I polära koordinater är
$$ 1\leq r\leq2,\qquad \frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}. $$
Därmed
$$ \begin{aligned} \iint_D\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy &=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_1^2\frac{\cos\theta}{r}\,dr\,d\theta\\ &=\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)\ln2. \end{aligned} $$