Uppgift 3
(a)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y'-y=e^{2x}$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'=e^{x-2y}$ som satisfierar villkoret $y(0)=0$. För vilka $x$ existerar lösningen?
Hela analys · 2016-02-17
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
- a) Med integrerande faktor $e^{-x}$ fås
$$ (e^{-x}y)'=e^x. $$
Alltså
$$ y=e^{2x}+Ce^x. $$
b) Ekvationen är separabel:
$$
e^{2y}\,dy=e^x\,dx.
$$
Villkoret $y(0)=0$ ger
$$
e^{2y}=2e^x-1,
$$
så
$$
y=\frac12\ln(2e^x-1),\qquad x>-\ln2.
$$