Uppgift 4

a) Sätt $f(x)=e^x-2x$. Då är $f'(x)=e^x-2$, vilket är noll då $x=\ln2$. Funktionen har sitt minsta värde där, och

$$f(\ln2)=2-2\ln2=2(1-\ln2)>0.$$

Alltså gäller $e^x>2x$ för alla $x$.

b) Sätt $f(x)=e^x-ax$, där $a>0$. Då är $f'(x)=e^x-a$, vilket är noll då $x=\ln a$. Funktionens minsta värde är

$$f(\ln a)=a(1-\ln a).$$

Om $0<a<e$ är detta positivt och ekvationen saknar lösning. Om $a=e$ är minimum $0$, och ekvationen har exakt en lösning. Om $a>e$ är minimum negativt och ekvationen har exakt två lösningar.