Uppgift 1
Undersök funktionen $f(x)=e^{-1/x}$ med avseende på lokala maximi- och minimipunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$.
Hela analys · 2016-08-19
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- För $x\ne0$ är
$$f'(x)=\frac{e^{-1/x}}{x^2}>0,\qquad f''(x)=\frac{1-2x}{x^4}e^{-1/x}.$$
Funktionen saknar lokala extrempunkter, är konvex för $x<0$ och $0<x<1/2$, samt konkav för $x>1/2$. Vidare gäller
$$\lim_{x\to0^-}f(x)=\infty,\quad\lim_{x\to0^+}f(x)=0,\quad\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.$$
Alltså är $x=0$ en lodrät asymptot från vänster och $y=1$ en vågrät asymptot.