MM2001 · Tidigare tentor

MM2001 · Hela analys

Tenta 2016-08-19

Andrzej Szulkin6 uppgifter
#Uppgift 1
Uppgift 1

Undersök funktionen $f(x)=e^{-1/x}$ med avseende på lokala maximi- och minimipunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$.

Visa lösningDölj lösning
  1. För $x\ne0$ är
    $$f'(x)=\frac{e^{-1/x}}{x^2}>0,\qquad f''(x)=\frac{1-2x}{x^4}e^{-1/x}.$$
    Funktionen saknar lokala extrempunkter, är konvex för $x<0$ och $0<x<1/2$, samt konkav för $x>1/2$. Vidare gäller
    $$\lim_{x\to0^-}f(x)=\infty,\quad\lim_{x\to0^+}f(x)=0,\quad\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.$$
    Alltså är $x=0$ en lodrät asymptot från vänster och $y=1$ en vågrät asymptot.
#Uppgift 2
Uppgift 2

Bestäm följande gränsvärden:

(a)

$\lim_{x\to\infty}x\arctan(2/x)$,

(b)

$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}+e^{-x^2}-2}{\sin^2 x-x^2}$.

Visa lösningDölj lösning
  1. a) Med $t=1/x$ fås
    $$\lim_{x\to\infty}x\arctan(2/x)=\lim_{t\to0}\frac{\arctan(2t)}t=2.$$

b) Utvecklingarna ger
$$\sin^2x-x^2=-\frac13x^4+O(x^6),\qquad e^{x^2}+e^{-x^2}-2=x^4+O(x^6).$$
Alltså är gränsvärdet $-3$.

#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)

Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+2y'+y=e^{2x}+x$.

(b)

Bestäm den lösning till differentialekvationen $x^2y^2y'=1$ som satisfierar villkoret $y(1)=1$. För full poäng krävs att lösningen anges på formen $y=f(x)$ (dvs. man skall lösa ut $y$ som en funktion av $x$).

Visa lösningDölj lösning
  1. a) Den homogena lösningen är
    $$y_h=(Ax+B)e^{-x}.$$
    Med $y_p=ae^{2x}+bx+c$ fås $a=1/9$, $b=1$ och $c=-2$. Alltså
    $$y=(Ax+B)e^{-x}+\frac19e^{2x}+x-2.$$

b) Separation ger
$$\frac{y^3}{3}=-\frac1x+C.$$
Villkoret $y(1)=1$ ger
$$y=\sqrt[3]{\frac{4x-3}{x}}.$$

#Uppgift 4
Uppgift 4

Bestäm värdemängden för funktionen $f(x)=x^3e^{-x}$. Bestäm också antalet lösningar till ekvationen $f(x)=1$.

Visa lösningDölj lösning
  1. Derivering ger
    $$f'(x)=x^2(3-x)e^{-x}.$$
    Funktionen har största värdet $27/e^3$, och eftersom $f(x)\to-\infty$ då $x\to-\infty$ är värdemängden
    $$(-\infty,27/e^3].$$
    Eftersom $(3/e)^3>1$ och funktionen är strikt växande före $3$ samt strikt avtagande efter $3$, har ekvationen $f(x)=1$ exakt två lösningar.
#Uppgift 5
Uppgift 5

Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=(x-y)e^{-x^2-y^2}$ i cirkelskivan $x^2+y^2\le1$.

Visa lösningDölj lösning
  1. De stationära ekvationerna ger $y=-x$ och $x=\pm1/2$. De inre punkterna har värdena $\pm e^{-1/2}$. På cirkelranden är
    $$f(\cos t,\sin t)=(\cos t-\sin t)e^{-1},$$
    vars största och minsta värden är $\pm\sqrt2e^{-1}$. Eftersom $e>2$ gäller $e^{-1/2}>\sqrt2e^{-1}$. Alltså är största respektive minsta värde i cirkelskivan
    $$e^{-1/2}\quad\text{och}\quad-e^{-1/2}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6

Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\frac{dx\,dy}{1+x^2}$, där $D$ är triangeln med hörn i $(0,0)$, $(1,1)$ och $(1,-1)$.

Visa lösningDölj lösning
  1. Området är
    $$D=\{(x,y):0\leq x\leq1,\ -x\leq y\leq x\}.$$
    Därför
    $$\iint_D\frac{1}{1+x^2}\,dx\,dy =\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln2.$$
Figur