Uppgift 2
Bestäm följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to\infty}x\arctan(2/x)$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}+e^{-x^2}-2}{\sin^2 x-x^2}$.
Hela analys · 2016-08-19
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- a) Med $t=1/x$ fås
$$\lim_{x\to\infty}x\arctan(2/x)=\lim_{t\to0}\frac{\arctan(2t)}t=2.$$
b) Utvecklingarna ger
$$\sin^2x-x^2=-\frac13x^4+O(x^6),\qquad
e^{x^2}+e^{-x^2}-2=x^4+O(x^6).$$
Alltså är gränsvärdet $-3$.