Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=(x-y)e^{-x^2-y^2}$ i cirkelskivan $x^2+y^2\le1$.
Hela analys · 2016-08-19
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
- De stationära ekvationerna ger $y=-x$ och $x=\pm1/2$. De inre punkterna har värdena $\pm e^{-1/2}$. På cirkelranden är
$$f(\cos t,\sin t)=(\cos t-\sin t)e^{-1},$$
vars största och minsta värden är $\pm\sqrt2e^{-1}$. Eftersom $e>2$ gäller $e^{-1/2}>\sqrt2e^{-1}$. Alltså är största respektive minsta värde i cirkelskivan
$$e^{-1/2}\quad\text{och}\quad-e^{-1/2}.$$