Hela analys · 2016-08-19

Uppgift 3

Andrzej Szulkin Differentialekvationer Lösning

Uppgift 3

(a)

Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+2y'+y=e^{2x}+x$.

(b)

Bestäm den lösning till differentialekvationen $x^2y^2y'=1$ som satisfierar villkoret $y(1)=1$. För full poäng krävs att lösningen anges på formen $y=f(x)$ (dvs. man skall lösa ut $y$ som en funktion av $x$).

Visa lösningDölj lösning

a) Den homogena lösningen är
$$y_h=(Ax+B)e^{-x}.$$
Med $y_p=ae^{2x}+bx+c$ fås $a=1/9$, $b=1$ och $c=-2$. Alltså
$$y=(Ax+B)e^{-x}+\frac19e^{2x}+x-2.$$

b) Separation ger
$$\frac{y^3}{3}=-\frac1x+C.$$
Villkoret $y(1)=1$ ger
$$y=\sqrt[3]{\frac{4x-3}{x}}.$$