Uppgift 4
Bestäm värdemängden för funktionen $f(x)=x^3e^{-x}$. Bestäm också antalet lösningar till ekvationen $f(x)=1$.
Hela analys · 2016-08-19
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- Derivering ger
$$f'(x)=x^2(3-x)e^{-x}.$$
Funktionen har största värdet $27/e^3$, och eftersom $f(x)\to-\infty$ då $x\to-\infty$ är värdemängden
$$(-\infty,27/e^3].$$
Eftersom $(3/e)^3>1$ och funktionen är strikt växande före $3$ samt strikt avtagande efter $3$, har ekvationen $f(x)=1$ exakt två lösningar.