Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/\ln n}$.
(b)
$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\arctan^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$.
Hela analys · 2016-12-21
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
- a) Vi har
$$\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/\ln n} =\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)=e.$$
b) Med
$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$
fås
$$\frac{1}{(\arctan x)^2}-\frac1{x^2}
=\frac{x^2-(\arctan x)^2}{x^2(\arctan x)^2}\longrightarrow\frac23.$$