Tenta 2016-12-21

1. a) Vi har
   $$\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/\ln n} =\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)=e.$$

b) Med
$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$
fås
$$\frac{1}{(\arctan x)^2}-\frac1{x^2} =\frac{x^2-(\arctan x)^2}{x^2(\arctan x)^2}\longrightarrow\frac23.$$

2. Funktionen är jämn och kontinuerlig; $y=0$ är en vågrät asymptot. För $x>0$ är
   $$f(x)=(x^2-3)e^{-x},\quad f'(x)=(2x-x^2+3)e^{-x}.$$
   De globala maxpunkterna är $x=\pm3$, med värdet $6e^{-3}$, och den globala minpunkten är $x=0$, med värdet $-1$.

För $x>0$ är
$$f''(x)=(x^2-4x-1)e^{-x}.$$
Inflexionspunkterna har $x$-koordinaterna $\pm(2+\sqrt5)$; funktionen är konvex utanför och konkav mellan dessa punkter, med avbrott i konvexitetsintervallet vid $0$.

3. Rotationsarean är
   $$A=2\pi\int_0^1\frac{x^3}{3}\sqrt{1+x^4}\,dx.$$
   Med $t=1+x^4$ fås
   $$A=\frac{\pi}{6}\int_1^2\sqrt t\,dt =\frac{\pi}{9}(2\sqrt2-1).$$

4. De inre kritiska ekvationerna ger endast $(1,1)$ och $(-1,-1)$, som ligger utanför området. På randen $x^2+y^2=1$ är
   $$f=\frac12\sin(2t),$$
   med största och minsta värden $1/2$ och $-1/2$. På randen $x^2+y^2=1/4$ är
   $$f=\frac18\sin(2t)+2\ln2,$$
   med största och minsta värden $1/8+2\ln2$ och $-1/8+2\ln2$. Alltså är det globala största värdet $1/8+2\ln2$ och det globala minsta värdet $-1/2$.

5. I polära koordinater blir integralen
   $$\int_0^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \int_0^1\frac{r^3}{1+r^2}\,dr =\frac{1-\ln2}{8}.$$

6. a) Separation ger
   $$-\frac1y=\frac{x^2}{2}-x+C.$$
   Villkoret $y(0)=1$ ger
   $$y=\frac{2}{2+2x-x^2},$$
   med maximalt definitionsintervall $(1-\sqrt3,1+\sqrt3)$.

b) Den homogena lösningen är
$$y_h=C_1e^{-3x}+C_2e^{5x}.$$
Med $y_p=Ae^{-x}$ fås $A=-1/2$, så
$$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{5x}-\frac12e^{-x}.$$