Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer
(a)
$y'+y^2=xy^2$, $y(0)=1$.
Vilket är det maximala intervall på vilket lösningen kan definieras?
(b)
$y''-2y'-15y=6e^{-x}$ (ange den allmänna lösningen).
Hela analys · 2016-12-21
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
- a) Separation ger
$$-\frac1y=\frac{x^2}{2}-x+C.$$
Villkoret $y(0)=1$ ger
$$y=\frac{2}{2+2x-x^2},$$
med maximalt definitionsintervall $(1-\sqrt3,1+\sqrt3)$.
b) Den homogena lösningen är
$$y_h=C_1e^{-3x}+C_2e^{5x}.$$
Med $y_p=Ae^{-x}$ fås $A=-1/2$, så
$$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{5x}-\frac12e^{-x}.$$