Uppgift 2
Betrakta kurvan $y=(x^2-3)e^{-\lvert x\rvert}$. Har kurvan några symmetri-egenskaper? Undersök även extrempunkter, asymptoter, och konvexitetsegenskaper. Skissera grafen.
Hela analys · 2016-12-21
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- Funktionen är jämn och kontinuerlig; $y=0$ är en vågrät asymptot. För $x>0$ är
$$f(x)=(x^2-3)e^{-x},\quad f'(x)=(2x-x^2+3)e^{-x}.$$
De globala maxpunkterna är $x=\pm3$, med värdet $6e^{-3}$, och den globala minpunkten är $x=0$, med värdet $-1$.
För $x>0$ är
$$f''(x)=(x^2-4x-1)e^{-x}.$$
Inflexionspunkterna har $x$-koordinaterna $\pm(2+\sqrt5)$; funktionen är konvex utanför och konkav mellan dessa punkter, med avbrott i konvexitetsintervallet vid $0$.