Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$f(x,y)=xy-\ln(x^2+y^2),$$
i området $D=\{(x,y)\mid \frac14\le x^2+y^2\le1\}$.
Hela analys · 2016-12-21
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
- De inre kritiska ekvationerna ger endast $(1,1)$ och $(-1,-1)$, som ligger utanför området. På randen $x^2+y^2=1$ är
$$f=\frac12\sin(2t),$$
med största och minsta värden $1/2$ och $-1/2$. På randen $x^2+y^2=1/4$ är
$$f=\frac18\sin(2t)+2\ln2,$$
med största och minsta värden $1/8+2\ln2$ och $-1/8+2\ln2$. Alltså är det globala största värdet $1/8+2\ln2$ och det globala minsta värdet $-1/2$.