Uppgift 3
Bestäm, för alla värden på talet $a\in\mathbb{R}$, antalet reella, olika rötter till ekvationen
$$3x^4-4x^3-12x^2=a.$$
Hela analys · 2017-01-25
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Sätt $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$. Då är
$$f'(x)=12x(x+1)(x-2).$$
De stationära punkterna är $-1$, $0$ och $2$, med värden
$$f(-1)=-5,\qquad f(0)=0,\qquad f(2)=-32.$$
Teckenstudiet visar att $-32$ är det globala minimumet, $-5$ ett lokalt minimum och $0$ ett lokalt maximum. Antalet reella, olika lösningar till $f(x)=a$ är därför:
- inga för $a<-32$;
- en för $a=-32$;
- två för $-32<a<-5$;
- tre för $a=-5$;
- fyra för $-5<a<0$;
- tre för $a=0$;
- två för $a>0$.