Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2}-n^2}{\sqrt{n^4-n^2}-n^2}$.
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x+x^3)-x}{\arctan(x+x^3)-x}$.
Hela analys · 2017-05-15
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Efter konjugering och förenkling fås
$$\frac{\sqrt{n^4+n^2}-n^2}{\sqrt{n^4-n^2}-n^2}= -\frac{\sqrt{1-1/n^2}+1}{\sqrt{1+1/n^2}+1}\to-1.$$
b) Maclaurinutvecklingarna för sinus och arctangens ger
$$\sin(x+x^3)-x=\frac56x^3+\mathcal O(x^5)$$
och
$$\arctan(x+x^3)-x=\frac23x^3+\mathcal O(x^5).$$
Alltså är gränsvärdet $\frac54$.