Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^4+n^2}-n^2}{\sqrt{n^4-n^2}-n^2}$.
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x+x^3)-x}{\arctan(x+x^3)-x}$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2017-05-15
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Efter konjugering och förenkling fås
$$\frac{\sqrt{n^4+n^2}-n^2}{\sqrt{n^4-n^2}-n^2}= -\frac{\sqrt{1-1/n^2}+1}{\sqrt{1+1/n^2}+1}\to-1.$$
b) Maclaurinutvecklingarna för sinus och arctangens ger
$$\sin(x+x^3)-x=\frac56x^3+\mathcal O(x^5)$$
och
$$\arctan(x+x^3)-x=\frac23x^3+\mathcal O(x^5).$$
Alltså är gränsvärdet $\frac54$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Betrakta kurvan $y=(x^2-3)e^{-x}$. Undersök extrempunkter, asymptoter och konvexitetsegenskaper. Skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
Derivatorna är
$$y'(x)=e^{-x}(2x-x^2+3),\qquad y''(x)=e^{-x}(x^2-4x-1).$$
Första derivatan har nollställena $-1$ och $3$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i $x=-1$ med värdet $-2e$ och ett lokalt maximum i $x=3$ med värdet $6/e^3$. Andra derivatan har nollställena $2\pm\sqrt5$, som ger inflexionspunkter. Funktionen är konvex på $(-\infty,2-\sqrt5)$ och $(2+\sqrt5,\infty)$ samt konkav däremellan.
Funktionen saknar lodräta asymptoter och har den vågräta asymptoten $y=0$ då $x\to\infty$. Då $x\to-\infty$ går $y(x)$ mot $\infty$ och $y(x)/x\to-\infty$, så det finns ingen sned asymptot.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Betrakta området $D=\{(x,y)\mid x^4\le y\le\sqrt{x}\}\subseteq\mathbb{R}^2$. Beräkna volymerna av de områden som uppstår då $D$ får rotera runt $x$- och $y$-axlarna.
Visa lösningDölj lösning
Kurvorna $y=\sqrt x$ och $y=x^2$ skär varandra för $x=0,1$. Rotation kring $x$-axeln ger
$$V_x=\pi\int_0^1\left((\sqrt x)^2-(x^2)^2\right)dx=\pi\int_0^1(x-x^4)dx=\frac{7\pi}{18}.$$
Rotation kring $y$-axeln ger
$$V_y=\pi\int_0^1\left((\sqrt[4]y)^2-(y^2)^2\right)dy=\pi\int_0^1(\sqrt y-y^4)dy=\frac{7\pi}{15}.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$f(x,y)=\frac{2}{x^2+y^2}+x+y,$$
i området $D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4\}$.
Visa lösningDölj lösning
I områdets inre ger de kritiska ekvationerna punkten $(1,1)$, med värdet $3$. På den inre cirkeln $x^2+y^2=1$ är
$$f(\cos t,\sin t)=2+\cos t+\sin t,$$
vars värden ligger mellan $2-\sqrt2$ och $2+\sqrt2$. På den yttre cirkeln $x^2+y^2=4$ är
$$f(2\cos t,2\sin t)=\frac12+2\cos t+2\sin t,$$
vars värden ligger mellan $\frac12-2\sqrt2$ och $\frac12+2\sqrt2$. Alltså är största värdet $\frac12+2\sqrt2$ och minsta värdet $\frac12-2\sqrt2$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D\frac{dx\,dy}{x^2+y^2}$$
där $D$ är det område som definieras av olikheterna $x\le y\le\sqrt{3}x$, $1\le x^2+y^2\le9$.
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater är $\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi3$ och $1\le r\le3$. Därför är
$$\iint_D\frac{dx\,dy}{x^2+y^2}=\int_{\pi/4}^{\pi/3}\int_1^3\frac1r\,dr\,d\theta=\frac\pi{12}\ln3.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer
(a)
$x^3y'=y^2(x+2)$, ange alla lösningar på intervallet $(0,\infty)$.
(b)
$y''-2y'+y=x^2-x+2$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.
Visa lösningDölj lösning
a) Separation av variabler ger
$$\frac{dy}{y^2}=\left(\frac1{x^2}+\frac2{x^3}\right)dx.$$
Integration ger
$$-\frac1y=-\frac1x-\frac1{x^2}+C,$$
så alla lösningar på intervallet $(0,\infty)$ kan skrivas
$$y=\frac{x^2}{x+1-Cx^2}.$$
b) Den homogena lösningen är $(Ax+B)e^x$. En partikulärlösning till högerledet $x^2-x+2$ är $x^2+3x+6$. Villkoren $y(0)=0$ och $y'(0)=1$ ger $B=-6$ och $A=4$. Alltså är
$$y=(4x-6)e^x+x^2+3x+6.$$