Uppgift 3
Betrakta området $D=\{(x,y)\mid x^4\le y\le\sqrt{x}\}\subseteq\mathbb{R}^2$. Beräkna volymerna av de områden som uppstår då $D$ får rotera runt $x$- och $y$-axlarna.
Hela analys · 2017-05-15
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Kurvorna $y=\sqrt x$ och $y=x^2$ skär varandra för $x=0,1$. Rotation kring $x$-axeln ger
$$V_x=\pi\int_0^1\left((\sqrt x)^2-(x^2)^2\right)dx=\pi\int_0^1(x-x^4)dx=\frac{7\pi}{18}.$$
Rotation kring $y$-axeln ger
$$V_y=\pi\int_0^1\left((\sqrt[4]y)^2-(y^2)^2\right)dy=\pi\int_0^1(\sqrt y-y^4)dy=\frac{7\pi}{15}.$$