Uppgift 2

Derivatorna är

$$y'(x)=e^{-x}(2x-x^2+3),\qquad y''(x)=e^{-x}(x^2-4x-1).$$

Första derivatan har nollställena $-1$ och $3$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i $x=-1$ med värdet $-2e$ och ett lokalt maximum i $x=3$ med värdet $6/e^3$. Andra derivatan har nollställena $2\pm\sqrt5$, som ger inflexionspunkter. Funktionen är konvex på $(-\infty,2-\sqrt5)$ och $(2+\sqrt5,\infty)$ samt konkav däremellan.

Funktionen saknar lodräta asymptoter och har den vågräta asymptoten $y=0$ då $x\to\infty$. Då $x\to-\infty$ går $y(x)$ mot $\infty$ och $y(x)/x\to-\infty$, så det finns ingen sned asymptot.