Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer
(a)
$x^3y'=y^2(x+2)$, ange alla lösningar på intervallet $(0,\infty)$.
(b)
$y''-2y'+y=x^2-x+2$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.
Hela analys · 2017-05-15
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Separation av variabler ger
$$\frac{dy}{y^2}=\left(\frac1{x^2}+\frac2{x^3}\right)dx.$$
Integration ger
$$-\frac1y=-\frac1x-\frac1{x^2}+C,$$
så alla lösningar på intervallet $(0,\infty)$ kan skrivas
$$y=\frac{x^2}{x+1-Cx^2}.$$
b) Den homogena lösningen är $(Ax+B)e^x$. En partikulärlösning till högerledet $x^2-x+2$ är $x^2+3x+6$. Villkoren $y(0)=0$ och $y'(0)=1$ ger $B=-6$ och $A=4$. Alltså är
$$y=(4x-6)e^x+x^2+3x+6.$$