Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to3}\frac{e^x-e^3}{\ln(x-2)}$.
(b)
$\lim_{n\to\infty}n^2\left(\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1-\frac1n}-2\right)$.
Hela analys · 2017-08-18
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Sätt $x=3+t$. Då är
$$
\lim_{x\to3}\frac{e^x-e^3}{\ln(x-2)}
=e^3\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{\ln(1+t)}
=e^3\lim_{t\to0}\frac{(e^t-1)/t}{\ln(1+t)/t}
=e^3.
$$
b) Maclaurinutvecklingen
$$
\sqrt{1+t}=1+\frac t2-\frac{t^2}{8}+O(t^3)
$$
ger, med $t=\pm1/n$,
$$
n^2\left(\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1-\frac1n}-2\right)
=n^2\left(-\frac1{4n^2}+O\!\left(\frac1{n^3}\right)\right)
\longrightarrow-\frac14.
$$