Tenta 2017-08-18

a) Sätt $x=3+t$. Då är
$$ \lim_{x\to3}\frac{e^x-e^3}{\ln(x-2)} =e^3\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{\ln(1+t)} =e^3\lim_{t\to0}\frac{(e^t-1)/t}{\ln(1+t)/t} =e^3. $$

b) Maclaurinutvecklingen
$$ \sqrt{1+t}=1+\frac t2-\frac{t^2}{8}+O(t^3) $$
ger, med $t=\pm1/n$,
$$ n^2\left(\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1-\frac1n}-2\right) =n^2\left(-\frac1{4n^2}+O\!\left(\frac1{n^3}\right)\right) \longrightarrow-\frac14. $$

Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla $x\in\mathbb R$, och
$$ \lim_{x\to\pm\infty}(y(x)-x) =\lim_{x\to\pm\infty}-2e^{-|x|}=0. $$
Alltså är $y=x$ en tvåsidig asymptot. Funktionen saknar globala extremvärden och har värdemängden $\mathbb R$.

För $x<0$ är $y(x)=x-2e^x$, så
$$ y'(x)=1-2e^x,\qquad y''(x)=-2e^x. $$
Det enda kritiska talet är $x=-\ln2$. För $x>0$ är
$$ y(x)=x-2e^{-x},\qquad y'(x)=1+2e^{-x}>0,\qquad y''(x)=-2e^{-x}. $$
I $x=0$ finns ingen derivata. Tecknet för $y'$ ger ett lokalt maximum i
$$ \left(-\ln2,-1-\ln2\right) $$
och ett lokalt minimum i $(0,-2)$. Funktionen är konkav på $(-\infty,0)$ och $(0,\infty)$, men inte på något öppet intervall som innehåller $0$, eftersom
$$ y'(0-)=-1<3=y'(0+). $$

Sätt $f(x)=x-\ln x$ för $x>0$. Då är
$$ f'(x)=1-\frac1x. $$
Funktionen avtar på $(0,1)$ och växer på $(1,\infty)$, och har därför sitt globala minimum i $(1,1)$. Ekvationen
$$ x-\ln x=a $$
har inga lösningar om $a<1$, exakt en lösning ($x=1$) om $a=1$, och två lösningar om $a>1$: en i $(0,1)$ och en i $(1,\infty)$.

Inre kritiska punkter uppfyller
$$ 0=f_x=2x-\frac{3}{2+x+y},\qquad 0=f_y=2y-\frac{3}{2+x+y}. $$
Subtraktion ger $x=y$, och insättning ger
$$ 2x-\frac{3}{2+2x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2+4x=3. $$
Rötterna $x=-\frac32$ och $x=\frac12$ ger inga punkter i området. Både maximum och minimum antas därför på randen.

Med
$$ x=\frac1{\sqrt8}\cos t,\qquad y=\frac1{\sqrt8}\sin t $$
fås
$$ \begin{aligned} h(t) &=f\!\left(\frac1{\sqrt8}\cos t,\frac1{\sqrt8}\sin t\right)\\ &=\frac18-3\ln\!\left(2+\frac1{\sqrt8}(\cos t+\sin t)\right)\\ &=\frac18-3\ln\!\left(2+\frac12\sin\!\left(t+\frac\pi4\right)\right). \end{aligned} $$
Eftersom detta är avtagande som funktion av sinusfaktorn fås
$$ \max h=\frac18-3\ln\frac32,\qquad \min h=\frac18-3\ln\frac52. $$

I polära koordinater fås
$$ \begin{aligned} \iint_Dxy^2\,dx\,dy &=\int_1^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^4\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta\,dr\\ &=\left(\int_1^2r^4\,dr\right) \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta\right)\\ &=\frac{31}{5}\cdot\frac23=\frac{62}{15}. \end{aligned} $$

a) Ekvationen är separabel:
$$ y'y=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac12y^2=x+C. $$
Villkoret $y(0)=1$ ger $C=\frac12$. Eftersom $y$ är positiv i en omgivning av origo är
$$ y=\sqrt{2x+1}. $$

b) Sätt $u=y'$. Då gäller
$$ u'u=1,\qquad u(0)=1, $$
och enligt a) är $u=\sqrt{2x+1}$. Alltså ger integration
$$ y=\frac13(2x+1)^{3/2}+D. $$
Villkoret $y(0)=1$ ger $D=\frac23$, och följaktligen
$$ y=\frac13(2x+1)^{3/2}+\frac23. $$