Uppgift 2

Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla $x\in\mathbb R$, och
$$ \lim_{x\to\pm\infty}(y(x)-x) =\lim_{x\to\pm\infty}-2e^{-|x|}=0. $$
Alltså är $y=x$ en tvåsidig asymptot. Funktionen saknar globala extremvärden och har värdemängden $\mathbb R$.

För $x<0$ är $y(x)=x-2e^x$, så
$$ y'(x)=1-2e^x,\qquad y''(x)=-2e^x. $$
Det enda kritiska talet är $x=-\ln2$. För $x>0$ är
$$ y(x)=x-2e^{-x},\qquad y'(x)=1+2e^{-x}>0,\qquad y''(x)=-2e^{-x}. $$
I $x=0$ finns ingen derivata. Tecknet för $y'$ ger ett lokalt maximum i
$$ \left(-\ln2,-1-\ln2\right) $$
och ett lokalt minimum i $(0,-2)$. Funktionen är konkav på $(-\infty,0)$ och $(0,\infty)$, men inte på något öppet intervall som innehåller $0$, eftersom
$$ y'(0-)=-1<3=y'(0+). $$