Uppgift 4

Inre kritiska punkter uppfyller
$$ 0=f_x=2x-\frac{3}{2+x+y},\qquad 0=f_y=2y-\frac{3}{2+x+y}. $$
Subtraktion ger $x=y$, och insättning ger
$$ 2x-\frac{3}{2+2x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2+4x=3. $$
Rötterna $x=-\frac32$ och $x=\frac12$ ger inga punkter i området. Både maximum och minimum antas därför på randen.

Med
$$ x=\frac1{\sqrt8}\cos t,\qquad y=\frac1{\sqrt8}\sin t $$
fås
$$ \begin{aligned} h(t) &=f\!\left(\frac1{\sqrt8}\cos t,\frac1{\sqrt8}\sin t\right)\\ &=\frac18-3\ln\!\left(2+\frac1{\sqrt8}(\cos t+\sin t)\right)\\ &=\frac18-3\ln\!\left(2+\frac12\sin\!\left(t+\frac\pi4\right)\right). \end{aligned} $$
Eftersom detta är avtagande som funktion av sinusfaktorn fås
$$ \max h=\frac18-3\ln\frac32,\qquad \min h=\frac18-3\ln\frac52. $$