Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer
(a)
$y'y=1$, $y(0)=1$.
(b)
$y''y'=1$, $y(0)=y'(0)=1$.
Hela analys · 2017-08-18
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen är separabel:
$$
y'y=1
\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac12y^2=x+C.
$$
Villkoret $y(0)=1$ ger $C=\frac12$. Eftersom $y$ är positiv i en omgivning av origo är
$$
y=\sqrt{2x+1}.
$$
b) Sätt $u=y'$. Då gäller
$$
u'u=1,\qquad u(0)=1,
$$
och enligt a) är $u=\sqrt{2x+1}$. Alltså ger integration
$$
y=\frac13(2x+1)^{3/2}+D.
$$
Villkoret $y(0)=1$ ger $D=\frac23$, och följaktligen
$$
y=\frac13(2x+1)^{3/2}+\frac23.
$$