Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D xy^2\,dx\,dy,$$
där $D$ är det område som definieras av olikheterna $1\le x^2+y^2\le4$ och $x\ge0$.
Hela analys · 2017-08-18
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater fås
$$
\begin{aligned}
\iint_Dxy^2\,dx\,dy
&=\int_1^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^4\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta\,dr\\
&=\left(\int_1^2r^4\,dr\right)
\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta\right)\\
&=\frac{31}{5}\cdot\frac23=\frac{62}{15}.
\end{aligned}
$$