Uppgift 3
Bestäm för varje $a\in\mathbb{R}$, antalet reella lösningar till ekvationen $2\ln\lvert x\rvert+x^4-3x^2=a$.
Hela analys · 2017-12-20
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Sätt
$$
f(x)=2\ln|x|+x^4-3x^2,\qquad x\ne0.
$$
Funktionen är jämn och
$$
f'(x)=\frac2x+4x^3-6x.
$$
Ekvationen $f'(x)=0$ är ekvivalent med
$$
2x^4-3x^2+1=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
(x^2-1)(2x^2-1)=0.
$$
De kritiska talen är $x=\pm1$ och $x=\pm1/\sqrt2$. De lokala minimivärdena är $-2$ i $x=\pm1$, och de lokala maximivärdena är
$$
-\ln2-\frac54
$$
i $x=\pm1/\sqrt2$. Därmed har ekvationen
$$
2\ln|x|+x^4-3x^2=a
$$
två lösningar om $a<-2$, fyra om $a=-2$, sex om $-2<a<-\ln2-\frac54$, fyra om $a=-\ln2-\frac54$, och två om $a>-\ln2-\frac54$.