Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\pi x)\ln(1+3x)}{x^2}.$$
(b)
$$\lim_{n\to\infty}\left(n^2-n^3\arctan\left(\frac{1}{n}\right)\right).$$
Hela analys · 2018-01-24
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=1,qquad
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}=1,
$$
fås
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)\ln(1+3x)}{x^2}=3\pi.
$$
b) Maclaurinutvecklingen $\arctan x=x-\frac13x^3+O(x^5)$ ger
$$
n^2-n^3\arctan\frac1n
=n^2-n^3\left(\frac1n-\frac1{3n^3}+O\left(\frac1{n^5}\right)\right)
=\frac13+O\left(\frac1{n^2}\right).
$$
Gränsvärdet är alltså $\frac13$.