Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\pi x)\ln(1+3x)}{x^2}.$$
(b)
$$\lim_{n\to\infty}\left(n^2-n^3\arctan\left(\frac{1}{n}\right)\right).$$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2018-01-24
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}=1,qquad
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}=1,
$$
fås
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(\pi x)\ln(1+3x)}{x^2}=3\pi.
$$
b) Maclaurinutvecklingen $\arctan x=x-\frac13x^3+O(x^5)$ ger
$$
n^2-n^3\arctan\frac1n
=n^2-n^3\left(\frac1n-\frac1{3n^3}+O\left(\frac1{n^5}\right)\right)
=\frac13+O\left(\frac1{n^2}\right).
$$
Gränsvärdet är alltså $\frac13$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Betrakta funktionen $f(x)=x^4-4\ln\lvert x\rvert$. Undersök extrempunkter (lokala och globala), konvexitetsegenskaper och asymptoter, samt skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
Funktionen är definierad och slät på $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ och är jämn. Vid $x=0$ har den den lodräta asymptoten $x=0$, eftersom $f(x)\to\infty$ då $x\to0^\pm$. Då $x\to\pm\infty$ gäller också $f(x)\to\infty$, så det finns inga asymptoter där.
$$
f'(x)=4x^3-\frac4x=\frac{4(x^4-1)}x.
$$
Derivatan har nollställena $x=\pm1$. Tecknet för $f'$ visar att dessa båda är lokala och globala minimipunkter, med
$$
f(\pm1)=1.
$$
Det finns ingen maximipunkt och värdemängden är $[1,\infty)$. Slutligen
$$
f''(x)=12x^2+\frac4{x^2}>0,
$$
så funktionen är konvex på $(-\infty,0)$ och $(0,\infty)$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Låt för varje $a>0$, $f_a(x)=\sqrt{a}\,e^{-(a^2+1)x}$.
(a)
Beräkna volymen $V(a)$ av den kropp som uppstår då kurvan $y=f_a(x)$, $0\le x<\infty$, får rotera runt $x$-axeln.
(b)
För vilket värde på $a$ blir $V(a)$ maximal?
Visa lösningDölj lösning
a) Rotationsvolymen är
$$
V(a)=\pi\int_0^\infty f_a(x)^2\,dx
=\pi\int_0^\infty a e^{-2(a^2+1)x}\,dx
=\frac{\pi a}{2(a^2+1)}.
$$
b) Vi har $V(a)\to0$ då $a\to0^+$ och då $a\to\infty$. Vidare
$$
V'(a)=\frac{\pi(1-a^2)}{2(a^2+1)^2}.
$$
Det enda positiva kritiska värdet är $a=1$, och det ger maximum. Den maximala volymen är
$$
V(1)=\frac\pi4.
$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$ f(x,y)=4x^2+y^2, $$
i området
$$ D=\{(x,y)\mid \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\le 1\}. $$
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $f(x,y)=4x^2+y^2\geq0$ och den enda stationära punkten är $(0,0)$, är
$$
f(0,0)=0
$$
det globala minimumet. För maximum sätter vi $u=2x$ och $v=y$. Då ska $u^2+v^2$ maximeras på parallellogrammen
$$
\{(u,v):\lvert u\rvert+2\lvert v\rvert\leq2\}.
$$
Det största avståndet till origo fås i hörnen $(\pm2,0)$. Alltså är det globala maximumet
$$
4,
$$
som antas i punkterna $(\pm1,0)$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$ \iint_D y^2\,dx\,dy, $$
där
$$ D=\{(x,y)\mid x^2-1\le y\le 1-x^2\}. $$
Visa lösningDölj lösning
För varje $x\in[-1,1]$ varierar $y$ från $x^2-1$ till $1-x^2$. Därför
$$
\begin{aligned}
\iint_D y^2\,dx\,dy
&=\int_{-1}^1\int_{x^2-1}^{1-x^2}y^2\,dy\,dx\
&=\frac23\int_{-1}^1(1-x^2)^3\,dx\
&=\frac43\int_0^1(1-3x^2+3x^4-x^6)\,dx\
&=\frac{64}{105}.
\end{aligned}
$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer:
(a)
$$xy'=y\ln x,\qquad x>0,\qquad y(1)=1.$$
(b)
$$y''+2y'+y=2x\cos x.$$
Visa lösningDölj lösning
a) Separation av variabler ger
$$
\frac{y'}y=\frac{\ln x}{x}.
$$
Alltså
$$
\ln\lvert y\rvert=\frac12(\ln x)^2+\ln\lvert C\rvert,
$$
så
$$
y=C\exp\left(\frac12(\ln x)^2\right).
$$
Villkoret $y(1)=1$ ger $C=1$. Lösningen är
$$
y(x)=\exp\left(\frac12(\ln x)^2\right)=(\sqrt{x})^{\ln x}.
$$
b) Den homogena lösningen till $y''+2y'+y=0$ är
$$
y_h=(Cx+D)e^{-x}.
$$
En partikulärlösning till högerledet $2x\cos x$ är
$$
y_p=\cos x+(x-1)\sin x.
$$
Alla lösningar är därför
$$
y=(Cx+D)e^{-x}+\cos x+(x-1)\sin x.
$$