Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$ \iint_D y^2\,dx\,dy, $$
där
$$ D=\{(x,y)\mid x^2-1\le y\le 1-x^2\}. $$
Hela analys · 2018-01-24
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
För varje $x\in[-1,1]$ varierar $y$ från $x^2-1$ till $1-x^2$. Därför
$$
\begin{aligned}
\iint_D y^2\,dx\,dy
&=\int_{-1}^1\int_{x^2-1}^{1-x^2}y^2\,dy\,dx\
&=\frac23\int_{-1}^1(1-x^2)^3\,dx\
&=\frac43\int_0^1(1-3x^2+3x^4-x^6)\,dx\
&=\frac{64}{105}.
\end{aligned}
$$