Uppgift 3
Låt för varje $a>0$, $f_a(x)=\sqrt{a}\,e^{-(a^2+1)x}$.
(a)
Beräkna volymen $V(a)$ av den kropp som uppstår då kurvan $y=f_a(x)$, $0\le x<\infty$, får rotera runt $x$-axeln.
(b)
För vilket värde på $a$ blir $V(a)$ maximal?
Hela analys · 2018-01-24
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
a) Rotationsvolymen är
$$
V(a)=\pi\int_0^\infty f_a(x)^2\,dx
=\pi\int_0^\infty a e^{-2(a^2+1)x}\,dx
=\frac{\pi a}{2(a^2+1)}.
$$
b) Vi har $V(a)\to0$ då $a\to0^+$ och då $a\to\infty$. Vidare
$$
V'(a)=\frac{\pi(1-a^2)}{2(a^2+1)^2}.
$$
Det enda positiva kritiska värdet är $a=1$, och det ger maximum. Den maximala volymen är
$$
V(1)=\frac\pi4.
$$