Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$ f(x,y)=4x^2+y^2, $$
i området
$$ D=\{(x,y)\mid \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\le 1\}. $$
Hela analys · 2018-01-24
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Eftersom $f(x,y)=4x^2+y^2\geq0$ och den enda stationära punkten är $(0,0)$, är
$$
f(0,0)=0
$$
det globala minimumet. För maximum sätter vi $u=2x$ och $v=y$. Då ska $u^2+v^2$ maximeras på parallellogrammen
$$
\{(u,v):\lvert u\rvert+2\lvert v\rvert\leq2\}.
$$
Det största avståndet till origo fås i hörnen $(\pm2,0)$. Alltså är det globala maximumet
$$
4,
$$
som antas i punkterna $(\pm1,0)$.