Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer:
(a)
$$xy'=y\ln x,\qquad x>0,\qquad y(1)=1.$$
(b)
$$y''+2y'+y=2x\cos x.$$
Hela analys · 2018-01-24
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Separation av variabler ger
$$
\frac{y'}y=\frac{\ln x}{x}.
$$
Alltså
$$
\ln\lvert y\rvert=\frac12(\ln x)^2+\ln\lvert C\rvert,
$$
så
$$
y=C\exp\left(\frac12(\ln x)^2\right).
$$
Villkoret $y(1)=1$ ger $C=1$. Lösningen är
$$
y(x)=\exp\left(\frac12(\ln x)^2\right)=(\sqrt{x})^{\ln x}.
$$
b) Den homogena lösningen till $y''+2y'+y=0$ är
$$
y_h=(Cx+D)e^{-x}.
$$
En partikulärlösning till högerledet $2x\cos x$ är
$$
y_p=\cos x+(x-1)\sin x.
$$
Alla lösningar är därför
$$
y=(Cx+D)e^{-x}+\cos x+(x-1)\sin x.
$$