Uppgift 3

Sätt
$$ f(x)=\arctan x-\frac{2x}{1+x^2}. $$
Då
$$ f'(x)=-\frac1{1+x^2}+\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}, $$
med nollställena $x=\pm1/\sqrt3$. Funktionsvärdena där är
$$ f\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6,qquad f\left(\frac1{\sqrt3}\right)=\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{2}. $$
Dessutom är $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac\pi2$ och $\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac\pi2$. Därmed har $f(x)=a$ följande antal lösningar:

• inga för $a\leq-\frac\pi2$ eller $a\geq\frac\pi2$;
• en för $-\frac\pi2<a<\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{2}$ eller $\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6<a<\frac\pi2$;
• två för $a=\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{2}$ eller $a=\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6$;
• tre för $\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{2}<a<\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6$.