Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)-2\sin x}{\arctan(3x)-3\arctan x}.$$
(b)
$$\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-4}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}\right).$$
Hela analys · 2018-06-15
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Maclaurinutvecklingarna ger
$$\sin(2x)-2\sin x=-x^3+\mathcal O(x^5),\qquad \arctan(3x)-3\arctan x=-8x^3+\mathcal O(x^5).$$
Alltså är gränsvärdet $\frac18$.
b) Konjugering ger
$$n^3\left(\frac1{\sqrt{n^2-4}}-\frac1{\sqrt{n^2+4}}\right)=\frac{8}{\sqrt{1-4/n^2}\sqrt{1+4/n^2}\left(\sqrt{1-4/n^2}+\sqrt{1+4/n^2}\right)}\to4.$$