Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)-2\sin x}{\arctan(3x)-3\arctan x}.$$
(b)
$$\lim_{n\to\infty}n^3\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-4}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}\right).$$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2018-06-15
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Maclaurinutvecklingarna ger
$$\sin(2x)-2\sin x=-x^3+\mathcal O(x^5),\qquad \arctan(3x)-3\arctan x=-8x^3+\mathcal O(x^5).$$
Alltså är gränsvärdet $\frac18$.
b) Konjugering ger
$$n^3\left(\frac1{\sqrt{n^2-4}}-\frac1{\sqrt{n^2+4}}\right)=\frac{8}{\sqrt{1-4/n^2}\sqrt{1+4/n^2}\left(\sqrt{1-4/n^2}+\sqrt{1+4/n^2}\right)}\to4.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Betrakta funktionen $f(x)=2\arctan x+\lvert x-1\rvert$. Undersök extrempunkter (lokala och globala), konvexitetsegenskaper och asymptoter, samt skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
För $x<1$ är $f(x)=2\arctan x-x+1$, och för $x>1$ är $f(x)=2\arctan x+x-1$. Derivatan är därför
$$f'(x)=\frac2{1+x^2}-1\quad(x<1),\qquad f'(x)=\frac2{1+x^2}+1\quad(x>1).$$
Den enda relevanta stationära punkten är $x=-1$, där funktionen har ett globalt minimum med värdet
$$f(-1)=2-\frac\pi2.$$
Något maximum finns inte. Funktionen har sneda asymptoter
$$y=x+\pi-1\quad(x\to\infty),\qquad y=-x-\pi+1\quad(x\to-\infty).$$
Vid $x=1$ är funktionen inte deriverbar. Andra derivatan visar att den är konvex på $(-\infty,0]$ och $[0,1]$ samt konkav på $[1,\infty)$, med inflexionspunkt i $x=0$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm längden av kurvan
$$ y=\frac45x^{5/4},\qquad 0\le x\le 1. $$
Visa lösningDölj lösning
Båglängden är
$$L=\int_0^1\sqrt{1+(y'(x))^2}\,dx=\int_0^1\sqrt{1+\sqrt x}\,dx.$$
Med substitutionen $x=t^2$ fås
$$L=\int_0^12t\sqrt{1+t}\,dt=2\int_1^2(s-1)\sqrt s\,ds=\frac8{15}(1+\sqrt2).$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Bestäm största och minsta värde till funktionen
$$ f(x,y)=xy-\ln(x^2+y^2), $$
i området
$$ D=\{(x,y)\mid \frac{1}{4}\le x^2+y^2\le 4\}. $$
Visa lösningDölj lösning
I områdets inre ger de kritiska ekvationerna $y^2=x^2$, alltså punkterna $(1,1)$ och $(-1,-1)$ med värdet $1-\ln2$.
På randen $x^2+y^2=4$ är
$$f(2\cos t,2\sin t)=2\sin2t-2\ln2,$$
med värden mellan $-2-2\ln2$ och $2-2\ln2$. På randen $x^2+y^2=\frac14$ är
$$f\left(\frac12\cos t,\frac12\sin t\right)=\frac18\sin2t+2\ln2,$$
med värden mellan $2\ln2-\frac18$ och $2\ln2+\frac18$. Alltså är största värdet $2\ln2+\frac18$ och minsta värdet $-2-2\ln2$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$ \iint_D x^3y^3\,dx\,dy, $$
där
$$ D=\{(x,y)\mid x,y\ge 0,\ x^2+y^2\le 1\}. $$
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater blir
$$\iint_Dx^3y^3\,dx\,dy=\left(\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\sin^3\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^1r^7\,dr\right)=\frac18\int_0^1(1-t^2)t^3\,dt=\frac1{96}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer:
(a)
$$y'+xy^3=y^3,\qquad y(0)=1.$$
(b)
$$y''+3y'-10y=e^{2x}.$$
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen är separabel:
$$\frac{dy}{y^3}=(1-x)dx.$$
Integration och villkoret $y(0)=1$ ger
$$-\frac12y^{-2}=x-\frac12x^2-\frac12,$$
så
$$y=\frac1{1-x}.$$
b) Den homogena lösningen har rötterna $2$ och $-5$. För en partikulärlösning till $e^{2x}$ används resonansansatsen, vilket ger $\frac17xe^{2x}$. Alltså är
$$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-5x}+\frac17xe^{2x}.$$