Uppgift 2

För $x<1$ är $f(x)=2\arctan x-x+1$, och för $x>1$ är $f(x)=2\arctan x+x-1$. Derivatan är därför

$$f'(x)=\frac2{1+x^2}-1\quad(x<1),\qquad f'(x)=\frac2{1+x^2}+1\quad(x>1).$$

Den enda relevanta stationära punkten är $x=-1$, där funktionen har ett globalt minimum med värdet

$$f(-1)=2-\frac\pi2.$$

Något maximum finns inte. Funktionen har sneda asymptoter

$$y=x+\pi-1\quad(x\to\infty),\qquad y=-x-\pi+1\quad(x\to-\infty).$$

Vid $x=1$ är funktionen inte deriverbar. Andra derivatan visar att den är konvex på $(-\infty,0]$ och $[0,1]$ samt konkav på $[1,\infty)$, med inflexionspunkt i $x=0$.