Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer:
(a)
$$y'+xy^3=y^3,\qquad y(0)=1.$$
(b)
$$y''+3y'-10y=e^{2x}.$$
Hela analys · 2018-06-15
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen är separabel:
$$\frac{dy}{y^3}=(1-x)dx.$$
Integration och villkoret $y(0)=1$ ger
$$-\frac12y^{-2}=x-\frac12x^2-\frac12,$$
så
$$y=\frac1{1-x}.$$
b) Den homogena lösningen har rötterna $2$ och $-5$. För en partikulärlösning till $e^{2x}$ används resonansansatsen, vilket ger $\frac17xe^{2x}$. Alltså är
$$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-5x}+\frac17xe^{2x}.$$