Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n.$$
(b)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\ln(1+x)}{x\arctan x}.$$
Hela analys · 2018-08-22
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Sätt $n=2k$. Då är
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac1k\right)^{2k}=e^2.$$
b) Maclaurinutvecklingarna ger
$$\sin x-\ln(1+x)=\frac12x^2+\mathcal O(x^3),\qquad x\arctan x=x^2+\mathcal O(x^4).$$
Alltså är gränsvärdet $\frac12$.